题目

若6的m次方+2的n次方+2（m,n属于N）是一个完全平方数,求所有可能的（m,n).
数学难题

提问时间：2020-10-09

答案

先考察任意一个自然数n,n^2≡0或1(mod4)
则若m≥2且n≥2,则6^m≡0(mod4),2^n≡0(mod4)
6^m+2^n+2≡2(mod4)矛盾!
则m≤1或n≤1
(1)m≤1,
①m=0,则2^n+3为完全平方数;
当n≥2时,2^n+3≡3(mod4)矛盾!
则n=0或1;
n=0时,2^n+3=4是完全平方数;
n=1时,2^n+3=5不是完全平方数;
②m=1,则2^n+8是完全平方数
若n≥4,2^n+8=8[2^(n-3)+1],而2^(n-3)+1为奇数,显然2^n+8中2的幂次为3,不是完全平方数;
则n=0,1,2,或3
n=0,6^m+2^n+2=9满足;
n=1,6^m+2^n+2=10不满足;
n=2,6^m+2^n+2=12不满足;
n=3,6^m+2^n+2=16满足;
(2)n≤1,
①n=0,6^m+2^n+2=6^m+3
当m≥2时,6^m+2^n+2≡3(mod4)矛盾!
则m=0或1
m=0,6^m+2^n+2=4满足；
m=1,6^m+2^n+2=9满足；
②n=1,6^m+2^n+2=6^m+4
设6^m+4=k^2,k为自然数,
6^m=(k+2)(k-2)
则可设k+2=2^s*3^t
k-2=2^p*3^q
4=2^s*3^t-2^p*3^q
s+p=t+q=m
显然t=0或q=0
当t=0时,q=s+p,3^q=3^(s+p)≥2^(s+p）
4=2^s*3^t-2^p*3^q≤2^s-2^p*2^(s+p)≤0矛盾!
当q=0时,s+p=t=m
4=2^s*3^t-2^p*3^q
=2^s*3^(s+p)-2^p
则s=2或p=2
若s=2,4=4[(3^(p+2)-2^(p-2)]＞4(3^p-2^p)≥4矛盾!
若p=2,4=4[2^(s-2)*3^(s+2)-1]≥4(3^2-1）＞4矛盾!
综上(m,n)=(0,0),(1,0)或(1,3)