题目

设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数,且｜f‘ (x)｜≤M,f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx≤M/4(b-a)^2

提问时间：2020-10-09

答案

记c=(a+b)/a,即区间的中点.
∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx +∫[c,b]f(x)dx <= ∫[a,c]|f(x)|dx +∫[c,b]|f(x)|dx
（1）先估计∫[a,c] |f(x)|dx ：
由中值定理 |f(x)|=|f(a)+f'(p)(x-a)|=|f'(p)(x-a)|<=M|x-a| ,其中 a 积分得,∫[a,c]|f(x)|dx <= ∫[a,c]M|x-a|dx =M∫[a,c](x-a)dx=(c-a)^2 *M/2=(b-a)^2 *M/8
（2）再估计∫[c,b]|f(x)|dx
由中值定理 |f(x)|=|f(b)+f'(q)(x-b)|=|f'(q)(x-b)|<=M|x-b| ,其中 c 积分得,∫[c,b]|f(x)|dx <= ∫[c,b]M|x-b|dx =M∫[c,b](b-x)dx=(c-b)^2 *M/2=(b-a)^2 *M/8
然后将（1）（2）所得的估计相加立得结论.