题目
(2014•吉林模拟)已知双曲线
−
=1(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=
与其渐近线交于A,B两点,且△ABF为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. (
,+∞)
B. (1,
)
C. (
,+∞)
D. (1,
)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2 |
c |
A. (
3 |
B. (1,
3 |
C. (
2 |
D. (1,
2 |
提问时间:2020-10-09
答案
双曲线
-
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x
联立方程组
,解得A(
,
),B(
,-
),
设直线x=
与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点,∴F(C,0)
∵△ABF为钝角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA
∴c-
<
,b<a,c2-a2<a2
∴c2<2a2,e2<2,e<
又∵e>1
∴离心率的取值范围是1<e<
故选D
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b |
a |
联立方程组
|
a2 |
c |
ab |
c |
a2 |
c |
ab |
c |
设直线x=
a2 |
c |
∵F为双曲线的右焦点,∴F(C,0)
∵△ABF为钝角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA
∴c-
a2 |
c |
ab |
c |
∴c2<2a2,e2<2,e<
2 |
∴离心率的取值范围是1<e<
2 |
故选D
先通过联立方程组求出A,B坐标,根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB>90°,可知∠AFD>45°,即DF<DA,再分别求出DF与DA长度,用含a,c的式子表示,因为离心率等于
,即可求出离心率的范围.
c |
a |
双曲线的简单性质.
本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含a,c的齐次式,再解不等式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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