题目

已知函数f（x）的图象关于原点对称，并且当x＞0时，f（x）=x²-2x+3，试求f（x）在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．

提问时间：2020-10-09

答案

∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
又f（x）在R上，∴f（0）=-f（0），解得f（0）=0．
设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-2x+3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x+3=-f（x）
∴f（x）=-x²-2x-3 于是有f(x)＝

x2−2x+3 0 −x2−2x−3

(x＞0) (x＝0) (x＜0)

图象如图所示，
由图象可知，函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调减区间为（-1，0），（0，1）．

确定函数为奇函数，设x＜0，则-x＞0，利用函数解析式，可得结论，从而可得函数的图象，即可求得函数的单调区间．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查函数解析式的确定，考查数形结合的数学思想，属于中档题．