题目

等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=(a5)^2
1]求an的通向公式
2]若数列bn满足bn=n^2+n+1/an*an+1,求数列bn的前99项的和.

提问时间：2020-10-09

答案

（1）由等差数列通项公式和求和公式：
an=a1+(n-1)*d
Sn=n*a1+1/2 [n*(n-1)]*d
及
a3^2=a1*a9
S5=(a5)^2
有
(a1+2d)^2=a1(a1+8d)
5a1+10d=(a1+4d)^2
解得
a1= d=3/5
或 a1=d=0
又因为an为递增数列,d不为0
所以 an的通项公式为
an=3/5+3/5*(n-1)=3n/5
（2）题目写的不太清楚!
因为
bn=(n^2+n+1)/[an*a(n+1)] =(n^2+n+1)/[(9/25)n(n+1)]
= 25/9* (n^2+n+1)/(n^2+n)
= 25/9 + 25/9 * 1/n(n+1)
= 25/9 + 25/9[1/n - 1/(n+1)]
则数列{bn}的前n项和为
Sn = b1 +b2+ b3 +.+bn
= 25n/9 + 25/9[1 - 1/(n+1)]
所以数列bn的前99项的和为
S99 = 25*11 + 25/9 * 99/100 = 1111/4