题目

已知A、B为椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1的左右两个顶点,F为椭圆饿右焦点,P为椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交直线L：x=m（m大于2）于M、N点,L交x轴于C点.
（1）当PF平行于L时,求直线AM的方程
（2）是否存在m值使得以MN为直径的圆过点F,若存在请加以证明,若不存在,请说明理由.
（3）对任意给定的m值,求三角形MFN面积的最小值

提问时间：2020-10-08

答案

解析几何无难题,就怕不能算到底.本题计算量大,楼主仔细算：
（1）当PF平行于L时,PF垂直于x轴,则A(-2,0),P(1,3/2),
又因为A、P、M共线,所以用A、P两点坐标算得直线AM的方程为：
x-2y+2=0;
(2)设存在,设P(x0,y0),M(m,y1),N(m,y2).由MF垂直于NF可得(m-1)^2+y1y2=0(记为*式)
又由MPA三点共线可以算得：y1=y0(m+2)/(x0+2)（记为1式）
同理由NPB三点共线可得y2=y0(m-2)/(x0-2)（记为2式）
将1、2两式带入*式可得：(m-1)^2+y0^2(m^2-4)/(x0^2-4)=0
又因为（x0,y0）在椭圆,上算得x0^2-4=-4/3y0^2,代入上式化简得m^2=-8不成立
所以不存在；
（3）由（2）计算得|MN|=|y1-y2|=|y0（m-4）x0|/(x0^2-4)=……
=3|（m-x0）/y0|,其几何意义是直线CP斜率绝对值的倒数的3倍,
当CP与椭圆相切时斜率的绝对值最大,倒数最小,此时面积最小,
但是计算量相当大,楼主自行计算吧.