题目

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A（0,3）,C（ -1,0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°
得到矩形OA'B'C'．设直线BB'与x轴交于点M,与y轴交于点N,抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）设直线BB’表示的函数解析式为y＝mx+n,求m,n
（2）求抛物线表示的二次函数的解析式
（3）在抛物线上求出使S△PB’C’=S矩形OABC的所有点P的坐标

提问时间：2020-10-08

答案

由题知点B（-1,3）,绕点O顺时针旋转90°后,则：
A'（3,0）,B'（3,1）,C'（0,1）
（1）、将B（-1,3）和B'（3,1）带入y=mx+n得：
3=-m+n ——①
1=3m+n ——②,
①②联立解得m=-1/2,n=5/2
(2),设抛物线解析式为：y=ax^2+bx+c,其过3点C(-1,0）,M（5,0）,N（0,5/2）
带入得：
0=a-b+c————③
0=25a+5b+c——④
5/2=c ————⑤
③④⑤联立解得：a=-1/2,b=2,c=5/2
所以解析式为y=-x²/2+2x+5/2
(3)过点P,做PQ⊥B'C'于Q,则：
S矩形OABC=OA*OC=3*1=3
SΔPB'C'=1/2*B'C'*PQ=3/2*PQ
所以只需PQ=6就可以了.
由于开口向下,顶点到直线B'C'距离为7/2＜6,所以只有两点符合题意.
此时y=-5,解得x1=2+√19,x2=2-√19
所以满足条件的所有P点的坐标有2个,分别为（2+√19,-5）,（2-√19,-5）.