题目

设f（x）=x²-2ax+2（a∈R），当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-08

答案

f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
f（x）图象的对称轴为x=a
为使f（x）≥a在[-1，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[-1，+∞）上的最小值比a大或等于a即可
∴（1）a≤-1时，f（-1）最小，解，解得-3≤a≤-1
  （2）a≥-1时，f（a）最小，解

a≥−1 f(a)＝2−a2≥a

解得-1≤a≤1
综上所述-3≤a≤1

区分图象的对称轴与区间[-1，+∞）的关系，根据二次函数在对称轴两边的单调性，求最小值即可．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查二次函数在给定区间上的恒成立问题，关键是讨论对称轴与区间的关系，转化为对称轴左右单调性相反，从而确定函数最值，属于基础题．