题目

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

a

＝(mx，y+1)，向量

b

＝(x，y−1)，

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为E．求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状．

提问时间：2020-10-08

答案

∵向量

a

＝(mx，y+1)，向量

b

＝(x，y−1)，
由

a

⊥

b

，得

a

•

b

＝mx2+y2−1＝0，即mx²+y²=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示的是圆，方程为x²+y²=1；
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当m＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．

直接由向量垂直的坐标表示得到动点M（x，y）的轨迹为E，然后对m分类讨论曲线的形状．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了向量垂直的坐标表示，考查了圆锥曲线的定义，是中档题．