题目

设函数f(x)=log0.5(sinx-cosx) .1求函数的定义域和值域、单调区间

提问时间：2020-10-08

答案

由sinx-cosx=√2sin(x-π/4)>0
得2kπ即2kπ+π/4所以,定义域是(2kπ+π/4,2kπ+5π/4),k∈Z,
因为0<√2sin(x-π/4)≤√2
所以log0.5(sinx-cosx)≥log0.5(√2)=-1/2
所以值域是[1/2,+∞).
当2kπ当2kπ+π/2≤x-π/4<(2k+1)π,即2kπ+3π/4≤x<2kπ+5π/4（k∈Z）时,u=√2sin(x-π/4)单减,
又f(u)=log0.5(u)是减函数,
所以f(x)=log0.5(sinx-cosx)的单调递增区间是[2kπ+3π/4,2kπ+5π/4),(k∈Z),
单调递减区间是(2kπ+π/4,2kπ+3π/4],(k∈Z).