题目

已知A为椭圆X^2/25+X^2/9=1 上任意一点,B为圆(X-2)^2+y^2=1的任意一点,求|AB|的最小值..

提问时间：2020-10-08

答案

先把A看成定点,即变成圆外一定点A到圆(X-2)^2+y^2=1的任意一点B的最小距离问题,设C为圆心,其坐标为:(2,0),|AB|的最小值=|CA|-1
事实上,A为动点,于是上述问题又变为求|CA|的最小值问题了.
设A(5cosθ,3sinθ),|CA|²=(5cosθ-2)²+(3sinθ)²=25cos²θ-20cosθ+4+9sin²θ=16cos²θ-20cosθ+13=16(cosθ+5/8)²+27/4≥27/4
所以|CA|的最小值=3√3/2
故|AB|的最小值为3√3/2-1.