题目

已知向量

m

＝(

3

sin

x

4

，1)，

n

＝(cos

x

4

，cos2

x

4

)，记f(x)＝

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

提问时间：2020-10-08

答案

因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）
因为A+B+C=π
所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0
所以cosB＝

1

2

，B＝

π

3

所以0＜A＜

2π

3

所以

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1
又因为f(x)＝

m

•

n

＝sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

所以f(A)＝sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

故函数f（A）的取值范围是(1，

3

2

)

由正弦定理将（2a-c）cosB=bcosC化为（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，推导得出cosB＝

1

2

，B＝

π

3

，所以f(A)＝sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

且0＜A＜

2π

3

，利用三角函数图象与性质求解．

本题考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．

考点点评：本题考查三角函数图象与性质，正弦定理的应用．考查转化计算能力．