题目

已知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，试解不等式f（x）+f（x-8）≤2．

提问时间：2020-10-08

答案

根据题意，由f（3）=1，
得f（9）=f（3）+f（3）=2．
又f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]，
故f[x（x-8）]≤f（9）．
∵f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
∴

x＞0 x−8＞0 x(x−8)≤9

解得8＜x≤9．
∴原不等式的解集为{x|8＜x≤9}．

先根据f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，通过取特殊值求出f（9）=2，将f（x）+f（x-8）≤2，化成f[x（x-8）]≤f（9）．依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于x的整式不等式，即可求得x的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质；抽象函数及其应用．

考点点评：本小题主要考查函数单调性的应用、抽象函数及其应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．