题目

椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直,且OM与椭圆长轴和短轴点的连线AB平行.
1）求椭圆的离心率
2）F2是椭圆的左焦点,C是椭圆上的任意一点,证明∠F1CF2≤二分之π
3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P,Q若三角形PF2Q的面积是20倍根号3,求此时椭圆的方程.
11点之前打完再多加30分.

提问时间：2020-10-08

答案

1,当M在第一象限,求出M（√(a²-b²),b²/a)
OM斜率为b²/[a√(a²-b²)]=b/a
得a/b=√2
e=√(1-b²/a²)=√2/2
2,根据1结果,椭圆方程为：
（x/√2b)²+(y/b)²=1
设C(x,y)
cos∠F1CF2=（CF1²+CF2²-F1F2²)/(2CF1·CF2)
=(y²+x²-b²)/√[y²+(x-b)²]√[y²+(x+b)²]
用x替代y得：
x²/|x²-4b²|≥0 所以得证
3,我们还是只讨论一种情况就行了；AB在第一象限,Q在第一象限,P在y负半轴.
那么直线PQ过（b,0),斜率为a/b,方程为y=a/bx-a=√2x-√2b
三角形面积为1/2cos∠F1PF2·PF1·PQ
连立方程求解PQ=6√2b/5 Px=(4-√6)/5
PF2=√2/2|x+2b| 解出b即可,繁琐