题目

完全平方数的约数是奇数个
求证正整数n为完全平方数的充分必要条件是n的正约数个数是奇数个.

提问时间：2020-10-08

答案

充分性
1.n=1时正约数1个,是奇数
2.n>1时
n^2的约数:1...n...n^2
1和n之间每多一个约数,例如m,那么n到n^2之间就会多一个约数n^2/m
就是说除了这三个约数,其他的约数是成对出现的,也就是说约数的个数
是3+偶数,结果必为奇数
必要性：
1.如果一个数的公约数是1和他本身,那它就是质数,肯定不是完全平方数
2.如果一个数m的公约数是1和他本身m,还有其他的公约数,我们设其中一个数为p,那么必定存在一个约数m/p
也就是说公约数是成对出现的,除非这两个数相等,也就是同一个数,否则公约数的个数就肯定是偶数
所以p是m的完全平方根时,公约数个数是奇数,
p不是m的完全平方根时,公约数个数是偶数.