题目

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

提问时间：2020-10-07

答案

（I）f'（x）=3x²-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1＝0，x2＝

2a

3

．
当

2a

3

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f_max=f（2）=8-4a．
当

2a

3

≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f_max=f（0）=0．
当0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

2a

3

]上单调递减，在[

2a

3

，2]上单调递增，从而fmax＝

8−4a，0＜a≤2. 0，2＜a＜3.

综上所述，fmax＝

8−4a，a≤2. 0，a＞2.

（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；
（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．