题目

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-10-07

答案

当a=0时，h（x）=x2-x，则f（x）≥h（x），即x2-mlnx≥x2-x，化简得mlnx≤x，∵x＞1，∴lnx＞0，∴m≤xlnx恒成立，该不等式等价于m≤(xlnx)min，令u(x)＝xlnx，u′(x)＝lnx−1(lnx)2，由u'（x）＞0，得 x＞e，...

当a=0时，由f（x）≥h（x），得x²-mlnx≥x²-x，分离出参数m后构造函数转化为求函数最值，利用导数可求得函数最值．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立问题、应用导数求函数的最值问题，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值或分离出参数后求函数最值解决．