题目

【两道初三题】有一座抛物线拱形桥,正常水位时桥下水面宽度为20m~
第三页最后一题~
2.已知：顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A,B两点（A在B左侧）,与y轴相交于点C,连结BC,已知△BOC是等腰三角形.若点E（x,y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点,设以A,B,C,E为顶点的四边形面积S.
①求S与x之间的函数关系式；
②若以A,B,C,E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等,求点E的坐标.

提问时间：2020-10-07

答案

1、(1)设抛物线方程为：y=ax^2 (a<0)
将(10,-4)代入求a
a=-4/100=-0.04
抛物线方程为y=-0.04x^2
(2)、上升h,此时拱顶距离水面4-h（即纵坐标为h-4）,代入方程：
x^2=(4-h)/0.04
水面宽度为：d=2√[(4-h)/0.04]=10√(4-h) （0<=h<=4）
(3)、水面宽度为18,则x=±9,代入方程：
y=-0.04*81=-3.24 （即拱顶距离水面3.24m）
此时水深为：2+4-3.24=2.76m
2、C点为(0,-3),OC=3
又等腰三角形OC=OB,B点坐标为(3,0) （因A在B的左边,B的横坐标不能是-3,否则A就会在y轴右边）
将(3,0)代入方程求b：b=-2
得抛物线为：y=x^2-2x-3
A点坐标为(-1,0)
①四边形面积要分情况讨论
i.若E(x,y)在B点右上方,即x>3时
四边形面积=三角形BAC+三角形BAE
三角形BAC=3*4/2=6
三角形BAE=y*4/2=4(x^2-2x-3)/2=2x^2-4x-6
所以,四边形面积=2x^2-4x (x>3)
ii.若E(x,y)在B、C点之间,即0四边形面积=三角形OAC+三角形OBE+三角形OEC
三角形OAC=3*1/2=1.5
三角形OBE=3*|y|/2=-3y/2=-3(x^2-2x-3)/2=-1.5x^2+3x+4.5 （此时y<0）
三角形OEC=3*x/2=1.5x
所以,四边形面积=1.5-1.5x^2+3x+4.5+1.5x=-1.5x^2+4.5x+6 （0综上,
S=2x^2-4x (x>3)
S=-1.5x^2+4.5x+6 （0②D点坐标为(1,-4)
四边形ACDB=三角形AOC+三角形OCD+三角形ODB=3*1/2+3*1/2+3*4/2=9
要两个四边形面积相等,则：
i.x>3时
S=2x^2-4x=9 => x=1+√22/2,y=x^2-2x-3=9/2-3=1.5
ii.0S=-1.5x^2+4.5x+6=9 => x=1或2 （其中x=1时,E与D重合）,相应地,y=-4或-3
综上,得到3个符合要求的E点坐标,即：
(1+√22/2,1.5)、(2,-3)、(1,-4)