题目

设a,b,c,d都是整数,且ac,bc+ad,bd都是某个整数u的倍数.求证：数bc和ad也是u的倍数
越快越好
还有一题
求一个9位数M，并对m=2，3…，数M的左边m位数都是m的倍数（且M的数码两两不同且都不为零）

提问时间：2020-10-07

答案

由题意,我们可以知道abcd是u^2的倍数；
于是我们可以假设如下的等式成立(这是明显的)：
bc+ad = m*u,(ad)*(bc) = n*u^2;
==> bc和ad是二次方程x^2 – m*u*x + n*u^2 = 0的两个根.
我们可以用求根公式求出上述方程的根：
x1=((m+sqrt(m^2-4n))/2)*u,
x2=((m-sqrt(m^2-4n))/2)*u;
我们可以假设我们可以假设x1=ad,x2=bc；因此我们可以知道bc和ad必定是u的倍数.（这是我同学的结果,希望有更好的方法）
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381654729 用matlab算出来的.
x = permutes(9); %产生1-9的全排列
for i=1:length(x);
y = 0;
for j=1:9;
y = y*10 + x(i,j);
if mod(y,j) = 0
break;
end
end
if j==9;
break;
end
end