题目

数学题,希望能有详解!谢谢!
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点,F是抛物线的焦点,求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S.

提问时间：2020-10-06

答案

有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4,4）是入射点,过点P的切线设为Y=K（X-4）+4
与y²=4x只有一个交点,联立得Ky²-4y+16-16K=0
⊿=16-4K（16-16K）=0得K=1/2
所以切线方程为：Y=X/2+2
P（4,4）是入射点,切线Y=X/2+2是反射镜面,
根据入射角等于反射角,先在y=4上任取一点A（6,4）
关于切线Y=X/2+2的对称点为A‘（26/5,28/5）
则点A‘（26/5,28/5）必在其反射光线上,
由P（4,4）与A‘（26/5,28/5）两点式求出反射光线方程,
反射光线方程4X-3Y-4=0,弦PQ的斜率为4/3
反射光线方程4X-3Y-4=0与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4,-1）
|PQ|=25/4,原点到PQ的距离为4/5
△OPQ的面积S=1/2*4/5*25/4=5/2
思路过程肯定,答案不知对否,作参考,有问题可以问
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4,4）是入射点,
因为直线y=4平行于对称轴,根据焦点聚光的特点,其反射光线必定经过焦点F（1,0）,
所以PQ是由PF所决定,PF的斜率为K=（4-0）/（4-1）=4/3
即弦PQ的斜率为4/3,PQ方程：Y=4（X-1）/3即：反射光线PQ方程为4X-3Y-4=0
与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4,-1）
则△OPQ的面积S=SOPF+SOQF=1/2*|OF|*（|Y1|+|Y2|）
=1/2*1*（1+4）=5/2