题目

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c为不全相等的正数，证明：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

提问时间：2020-10-06

答案

证明：2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）]
=（a³-a²b）+（a³-a²c）+（b³-b²a）+（b³-b²c）+（c³-c²a）+（c³-c²b）
=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）
=（a-b）²（a+b）+（a-c）²（a+c）+（b-c）²（b+c）
∵a，b，c为不全相等的正数，
∴（a-b）²（a+b）+（a-c）²（a+c）+（b-c）²（b+c）＞0
∴2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）]＞0
∴2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．