题目

一个质量为m的粒子被限制在r = a和r = b的两个不可穿透的
同心球面之间运动.不存在其它势,求粒子的基态能量和归一化波函数.

提问时间：2020-10-06

答案

（h代表约化Planck const.)
先看一维无穷势井,假定粒子限定在x=a,x=b处（b>a）；
那么归一化波函数：ψn=√[2/(b-a)]*sin[nπx/(b-a)]；
能级：En=n^2*π^2*h^2/[2m(b-a)^2]
然后看你这个问题：先写出Hamiltonion:
H=[-h^2/2m*▽^2+V(r)],
在：r∈(a,b)的区域,势能为0,
并注意算符▽^2,在球坐标下：
▽^2=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)]+1/(r^2*sinθ)*[∂/∂θ*(sinθ*∂/∂θ)]+1/(r*sinθ)^2*(∂^2/∂φ^2)
=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]
那么r∈(a,b)区域的定态Schrodinger Eq就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]ψ=Eψ.（1）
显然这样看的话,L^2,Lz都与H对易,所以可以选一组力学量的完全集（H,L^2,Lz）的共同本征函数作为完备正交归一的本征函数族,这样的话,算符L^2作用上去就有：L^2ψ=l(l+1)h^2ψ,所以第一个式子改写一下就是：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-l(l+1)/h^2]ψ=Eψ.(2)
由于要求基态,所以轨道角动量要为0,即l=0,所以（2）就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]ψ=Eψ.(3)
解（3）式并不费劲,先分离变量令ψ=R（r）*Y(θ,φ)；则（3）式改写为：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]R=E*R.(4)
解（4）只需再做一步换元,令u=rR,代入（4）就得：
u'+2mE/h^2*u=0
上式与一维无穷势井中的Schrodinger Eq一样,所以直接把最开始给你的波函数和能级拿来用就ok了~即波函数为：
（基态n=1,l=0,m=0）u=√[2/(b-a)]*sin[πr/(b-a)]*Y_00
注意u=rR,而且Y_00是常数,所以波函数应为：
ψ=√[2/(b-a)]/r*sin[πr/(b-a)]
基态能量为：E=π^2*h^2/[2m(b-a)^2]