题目

布里渊区边界方程：n*(k-n/2a)=0的几何意义和物理意义

提问时间：2020-10-06

答案

你应该已经知道倒易空间的基本定义,布区就是定义在倒易空间中的一个区域,其边界方程的定义本质上是基于最大散射（scattering）条件给出的,这是他的物理意义.请先记住这句话,然后再往下看.
我不知道你现在看布区是在晶体结构衍射实验那部分看到的,还是后面能带理论看到的,这两种情况里布区所扮演角色的本质都是一样的.我们说倒易空间的波矢k的空间,其中每个状态点都表述了一个具有特定波矢k的状态.请注意,这里的波矢k不是晶体结构本身的波矢（晶体是静止的）,而是运动在晶体中的某种波的波矢.在晶体衍射实验中,这个波矢是光波的波矢,在能带理论中这个波矢是电子空间波函数的波矢.这样的波（光波和电子波函数）在晶体空间中传播,会受到晶体的散射.当波的波长足够大,对应波矢足够小的时候,波会因为衍射的作用越过障碍物,即散射很弱,但是当波长很短,对应波矢很大时,散射就会非常厉害.那么,最大的散射会在什么情况下发射呢?肯定是波长最短的时候.在晶体中,这个最短波长是2a,a的晶格常数,即正半周期和负半周期分别占据一个晶格的时候.这是晶体本身的限制,此时有最强散射.其对应的最长的波矢就是1/2a（或者定义为pi/2a）.这个位置就是布区的边界.在这个位置上,光波会发射最强的散射形成XRD的增强反射,电子波函数会发生最强的散射形成禁带.
如果你要说他的几何意义的话,正如上面的描述,倒易空间里的波矢和晶格常数是倒数关系.而最大的k是布里渊区对应最小的晶格坐标间距,比如2a.因此,但你从k=0,遍历每个k态直到最大的k布区边界时,实际上是在晶格空间中从无穷远处,遍历每个晶格坐标直到你坐标原点附近的一个2a.
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