题目

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），画出函数f（x）的图象，并求出函数f（x）的解析式．

提问时间：2020-10-06

答案

∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，
f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=-x（1-x）=（x-

1

2

）²-

1

4

=-f（x），
∴f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

∴f（x）=

(x+ 1 2 ) 2- 1 4 x≥0 -(x- 1 2 ) 2+ 1 4 x＜0

先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数f（x）的图象，在利用奇函数的定义求出函数f（x）的解析式．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查了奇偶性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．