题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：AD⊥BC．

提问时间：2020-10-06

答案

证明：延长AD交BC于M，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠DCB，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，
在△ABD和△ACD中，

AB＝AC AD＝AD BD＝CD

，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC．

首先证明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，再加上条件AB=AC，公共边AD=AD，可利用SSS定理证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD=∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形中的重要性质：三线合一．