题目

如果函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1]∪[0，1）
B. [-1，1）
C. {-1，0}
D. [-1，0）∪（1，+∞）

提问时间：2020-10-06

答案

由y=|x|-1可得，x≥0时，y=x-1；x＜0时，y=-x-1，
∴函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线必相交于（±1，0）
所以为了使函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则
y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0
当λ=-1时，x=1满足题意，
由于△＞0，1是方程的根，∴

λ−1

1+λ

＜0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；
y=-x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²+2λx+λ-1=0
当λ=-1时，x=-1满足题意，
由于△＞0，-1是方程的根，∴

λ−1

1+λ

＜0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数λ的取值范围是[-1，1）
故选B．