题目
知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率e=2分之根号2.以线段F1,F2
为直径的圆的面积为π,(1)求椭圆方程;(2)设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,o)试求m的取值范围
为直径的圆的面积为π,(1)求椭圆方程;(2)设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,o)试求m的取值范围
提问时间:2020-10-06
答案
由题意,πc²=π,c=1
又e=c/a=√2/2,1/a=√2/2,a=√2,a²=2,b²=a²-c²=2-1=1
∴椭圆的方程为x²/2+y²=1
由(1)可知,F2的坐标为(1,0)
设直线AB的直线方程为y=k(x-1)
联立x²/2+y²=1和y=k(x-1),消去y,得(1/2+k²)x²-2k²x+k²-1=0
x1+x2=2k²/(1/2+k²),y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=2k³/(1/2+k²)-2k
而AB中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即为(k²/(1/2+k²),k³/(1/2+k²)-k)
则线段AB的垂直平分线的直线方程为y=(-1/k)[x-k²/(1/2+k²)]+k³/(1/2+k²)-k
令y=0,解得x=k²/(1+2k²),即m=k²/(1+2k²)=1/2-1/(2+4k²)
∵k²≥0,∴2+4k²≥2,-1/(2+4k²)≦-1/2,1/2-1/(2+4k²)≤0,
则m的取值范围为(-∞,0]
又e=c/a=√2/2,1/a=√2/2,a=√2,a²=2,b²=a²-c²=2-1=1
∴椭圆的方程为x²/2+y²=1
由(1)可知,F2的坐标为(1,0)
设直线AB的直线方程为y=k(x-1)
联立x²/2+y²=1和y=k(x-1),消去y,得(1/2+k²)x²-2k²x+k²-1=0
x1+x2=2k²/(1/2+k²),y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=2k³/(1/2+k²)-2k
而AB中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即为(k²/(1/2+k²),k³/(1/2+k²)-k)
则线段AB的垂直平分线的直线方程为y=(-1/k)[x-k²/(1/2+k²)]+k³/(1/2+k²)-k
令y=0,解得x=k²/(1+2k²),即m=k²/(1+2k²)=1/2-1/(2+4k²)
∵k²≥0,∴2+4k²≥2,-1/(2+4k²)≦-1/2,1/2-1/(2+4k²)≤0,
则m的取值范围为(-∞,0]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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