题目

函数y=f（x）是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f（x+1）=f（x-1）成立,已知当x属于【1,2】时
f（x）=log以a为底x的对数
（1）求x∈【-1,1】时,函数f（x）的表达式
（2）求x∈【2k-1,2k+1】（k∈Z）时,函数f（x）的解析式
（3）若函数f（x）的最大值为（1/2）,在区间【-1,3】上,解关于x的不等式f（x）＞（1/4）

提问时间：2020-10-05

答案

对任意实数x,都有f（x+1）=f（x-1）,
∴f(x+2)=f(x),
∴2是f(x)的周期.
x∈[1,2]时f(x)=logx,
(1)x∈[-1,0]时x+2∈[1,2],
f(x)=f(x+2)=log(x+2)=log(2-|x|),
y=f（x）是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)=f(|x|),
∴x∈[-1,1]时f(x)=log(2-|x|).
(2)x∈[2k-1,2k+1],k∈Z时x-2k∈[-1,1],
f(x)=f(x-2k)=log(2-|x-2k|).
(3)f（x）的最大值为1/2,
∴log2=1/2,
∴a^(1/2)=2,a=4.
在区间[-1,3]上,关于x的不等式f（x）＞1/4=f(√2）,
化为x∈[-1,1],2-|x|>√2；或x-2∈[-1,1],2-|x-2|>√2,
解得-(2-√2)