题目

如图,在平面直角坐标系XOY中,一抛物线的顶点坐标是(0,1),且过点(-2,2),平行四边形OABC的顶点A,B在此抛物
线上,AB与Y轴相交于点M.一直点C的坐标是（-4,0）点Q（x,y）是抛物线上任意一点
以求得解析式,M（0,2）
问（1）在x轴上有一点P（t,0）,若PQ∥CM用代数式表示
（3）在抛物线上是否存在点Q,使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍?若存在,求此时点Q的坐标
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提问时间：2020-10-05

答案

（1）∵抛物线的顶点坐标是（0,1）,且过点（-2,2）
故设其解析式为 y=ax²+1
则有(-2)²a+1=2,得a=¼
∴此抛物线的解析式为：y=¼x²+1
∵四边形OABC是平形四边形
∴AB=OC=4,AB∥OC
又∵y轴是抛物线的对称轴
∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点
则MA=MB=2,即点A的横坐标是2
∴则其纵坐标y=¼×2²＋1=2 即点A（2,2）,故点M（0,2）
(2)作Q H⊥x轴,交x轴于点H
则∠QHP=∠MOC=90º,∵PQ∥CM ∴∠QPH=∠MCO
∴△PQH∽△CMO
∴PH／CO＝QH／MO 则x-t／4＝y／2
∵y=¼x²+1 ∴x-t／4＝¼x²+1／2
∴t=½x²+x-2
(3)设ΔABQ的边AB上的高为h
S△BCM=½BM·OM=2
∴S△ABQ=2 S△BCM=½AB·h=4 ∴h=2
∴点Q的纵坐标为4 代入 y=¼x²+1 ∴x=±2√3
则存在符合条件的点Q,其坐标为（2√3,4）（-2√3,4）