题目

锐三角形ABC中,求证：tanA*tanB*tanC 〉1

提问时间：2020-10-05

答案

很简单
证明：已知三角形ABC是锐角三角形,为了不失一般性不妨令0则,可以得到A至少不小于π/3,即A≥π/3,否则如果A<π/3,则,B,C中必定会出现大于A的情况,这就与所令矛盾了
根据三角形内角和为π
则tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
(这个结论可以用两角和的正切展开式再根据tanπ=0,得到)
设三个角A,B,C分别对应边a,b,c
根据余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc*cosA),cosB,cosC同理可得到
根据正弦定理的面积表达,三角形ABC的面积S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB
=(1/2)bcsinA
则tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC
=sinA/cosA+sinB/cosB+sinC/cosC
=2bcsinA/(b²+c²-a²)+2acsinB/(a²+c²-b²)+2absinC/(a²+b²-c²)
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
取b²+c²-a²,a²+c²-b²,a²+b²-c²的最大者,不妨设b²+c²-a²最大
b²+c²-a²=2bccosA=2bc√[1-(sinA)²]=√[b²c²-4S²]
根据前面所得结论A≥π/3
2S=bcsinA bc=2S/sinA≤4S/√3
这样b²+c²-a²=√[b²c²-4S²]≤2S/√3
故tanA*tanB*tanC
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
≥12S[1/(b²+c²-a²)]
≥12S(√3/4S)
=3√3>1
所以tanA*tanB*tanC>1