题目

证明一个数列极限,要用单调有界定理证明
利用单调有界定里,证明下列数列极限存在:
x1=√2 , x2=√(2+x1) , x3=√(2+x2). , xn=√(2+x(n-1))其中x后面的1,2,.n,n-1都是下标.
用单调有界定理怎么证啊?请知道的朋友帮帮我这个笨蛋吧,详细解答一下吧,谢谢!

提问时间：2020-10-05

答案

首先证明有上界,即对于任意的n,xn都小于等于某个常数C.
我们证明xn<=2,用数学归纳法证
1.x1=√2<2;
2.设xk<=2,x(k+1)=√(2+x(k))<=√(2+2)=2;
可知xn<2;
再证明xn单调递增：
刚才已经知道xn<=2,则xn=√(2+x(n-1))>=√(x(n-1)+x(n-1))=√2*x(n-1)>=
√x(n-1)*x(n-1)=x(n-1)；上面的推导式的依据都是x(n-1)<=2
所以xn>=x(n-1),所以xn是单调增序列
以上就证明了xn序列单调增有上界,所以极限存在
事实上这个数列的极限就是2,计算极限可以这样算
设x为xn的极限,对式子xn=√(2+x(n-1))两边取极限有
x=√(2+x),解得x=2,可知x=2