题目

求函数y=f(x)=(1/4)的x次方-(1/2)的x次方+1(x＞=0）的单调区间及最大值

提问时间：2020-10-04

答案

y=(1/4)^X-(1/2)^X+1 =[(1/2)^X]^2-(1/2)^X+1 =[（1/2)^X-1/2]^2+3/4 令u=(1/2)^X 因为x∈[-4,2],u=(1/2)^X是减函数,u∈[1/4,16] y=(u-1/2)^2+3/4,u∈[1/4,1/2],y是u的减函数,所以在x∈[1,2]上,y是x的增函数,y=(u-1/2)^2+3/4,u∈[1/2,16],y是u的增函数,所以在x∈[1,2]上,y是x的减函数,当u=1/2即x=1时y取得最小值为3/4.当u=16即x=-4时y取得最大值为241.所以函数y=(1/4)^X-(1/2)^X+1,x∈[-4,2]的值域[3/4,241] 追问：x∈[-4,2],这个怎么来的、?回答：y=(1/4)^X-(1/2)^X+1 =[(1/2)^X]^2-(1/2)^X+1 =[（1/2)^X-1/2]^2+3/4 令u=(1/2)^X 因为x∈[0,+∞）,u=(1/2)^X是减函数,u∈[0,1] y=(u-1/2)^2+3/4,u∈[0,1/2],y是u的减函数,所以在x∈(1,+∞]上,y是x的增函数,y=(u-1/2)^2+3/4,u∈[1/2,1],y是u的增函数,所以在x∈[0,1]上,y是x的减函数,当u=1/2即x=1时y取得最小值为3/4.当u=1即x=-0时y取得最大值为1.所以函数y=(1/4)^X-(1/2)^X+1,x∈[0,+∞)的 值域 [3/4,1] 真不好意思,刚才的答案是从网上转载的,没有看清x的取值要求!不过 思路 和过程都是正确的!