题目

在集合{1,2,3,4,5}中,任取一个偶数A和一个奇数B,构成一个以原点为起点的向量AB,从所有得到的以原点为
起点的向量中任取2个向量为邻边做平行四边形,其面积为2的概率是多少

提问时间：2020-10-04

答案

平行四边形面积=[向量A叉乘向量B]的模(你不知道叉乘的话直接看下面一个)
=向量A（x1,x2）模*sin（夹角）*向量 B（y1,y2）模
后面两个公式是这题的特殊情况,这样算比较快：
=(x1*x2-y1*y2)*2 // x1=y1 时
可能的向量有6种：
2,1 2,3 2,5 4,1 4,3 4,5
两个向量组合在一起无非两种情况：
x值相等,x值不等
先考虑x值相等的情况：
因为y值至少差2,所以要平行四边形面积为2,x轴的值必须至少小于1,而x轴的值至少为2,所以x值相等时,面积都不可能为2
再考虑x值不等时：
先考虑y值相等时：
2,1 4,1 符合条件
,其他高都大于1了,不可能符合了.
再考虑y值不等的情况：
有一些点的组合你画图观察,就会发现明显太大,我只说我们需要计算的组合：
2,1 4,3 ：
模为 根5 和 5
cos夹角=11/(5根号5)
sin=2/(5根5)
面积=2
这个组合也行
2,1 4,5：
模：根5 根41
cos=13/(根205)
sin=6/根205
面积=6
不符
2,3 4,5
模：根13 根41
cos=23/(根（13*41）)
sin=2/（根（13*41））
面积=2 符合
所以综上所述,有3种符合的组合,所以概率为3/(C2 6)=3/(15)=0.2
PS：
平行四边形面积可以继续推导：
sin*模A*模B=根号下（A模方*B模方-（A点乘B）的方）
这样计算可以更加快一点