题目

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25,直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
1、证明：L恒过点（3,1） ps：已证出可当已知用于第二问.
2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线L的方程.
我的分很少,有好心的就帮帮吧!

提问时间：2020-10-04

答案

1.（1）反证法.将点（3,1）代入直线L.
得6m+3+m+1-7m-4=0化简得0=0.
则说明直线L恒过点（3,1）
（2）（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
2mx+x+my+y-7m-4=0
提出m,
m(2x+y-7)+x+y-4=0
（因为L过定点,所以肯定与m无关）
的方程组：
2x+y-7=0①,x+y-4=0②.
①②联立,解得x=3,y=1.
所以直线L恒过点（3,1）
2.因为过圆心做直线L的垂线时,当垂足为（3,1）时弦长就是最短的,所以依据圆心（1,2）和垂足（3,1）算出弦心距为根号5,已知半径为5,再根据勾股定理就可以得知1/2的弦长然后总弦长就出来了啊~.关于直线L,把点（3,1）代回（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
进去解出m,再把m代回（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
就可以了.