题目

已知：如图所示，M（3，2），N（1，-1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．

提问时间：2020-10-04

答案

根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N′，连接MN′，与y轴交点为所求的点P，
∵N（1，-1），
∴N′（-1，-1），
设直线MN′的解析式为y=kx+b，把M（3，2），N′（-1，-1）代入得：

3k+b＝2 −k+b＝−1

，
解得

k＝ 3 4 b＝− 1 4

，
所以y=

3

4

x-

1

4

，
令x=0，求得y=-

1

4

，
则点P坐标为（0，−

1

4

）．

找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短．根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x=0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．

本题考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

考点点评：此题考查了对称的性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式．
利用对称的方法找出线段之和的最小值的步骤为：
1、找出其中一个定点关于已知直线的对应点；
2、连接对应点与另一个定点，求出与已知直线交点的坐标；
3、根据两点之间，线段最短可知求出的交点坐标即为满足题意的点的坐标．