题目

设a为实数，函数f（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，e^x＞x²-2ax+1．

提问时间：2020-10-04

答案

（Ⅰ） ∵f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e^x-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	2（1-ln2+a）	单调递增

故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值．
（Ⅱ）证明：设g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即e^x-x²+2ax-1＞0，
故e^x＞x²-2ax+1．