题目

设f（x）为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log

1

2

x
（Ⅰ）求当x＜0时，f（x）的解析表达式；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤2．

提问时间：2020-10-03

答案

（Ⅰ）设x＜0时，
则−x＞0⇒f(−x)＝log

1

2

(−x)⇒f(x)＝−f(−x)＝−log

1

2

(−x)．
所以：当x＜0时，f（x）=-log 

1

2

（-x）．
（Ⅱ）由题意，得

x＞0 log 1 2 x≤2

或

x＜0 −log 1 2 (−x)≤2

⇒x≥

1

4

或−4≤x＜0．
所以不等式f（x）≤2的解集为：{x|x≥

1

4

或-4≤x＜0}

（Ⅰ）直接设设x＜0，则-x＞0，代入所给解析式，再结合f（x）为奇函数即可求出结论；
（Ⅱ）直接根据分段函数的特点分段求解，再合并即可．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式的解法．考查函数的基本性质，解决此类问题需要对函数奇偶性的性质掌握比较熟练．