题目
过抛物线y2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数,
(1)求y1+y2的值;
(2)证明直线AB的斜率是非零常数.
(1)求y1+y2的值;
(2)证明直线AB的斜率是非零常数.
提问时间:2020-10-03
答案
(1)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB
由y12=4x1,故kPA=
=
(x1≠4),
同理可得kPB=
(x2≠4),
由PA,PB斜率互为相反数可得kPA=-kPB,
即
=−
,
化为y1+y2=-8;
(2)设直线AB的斜率为kAB,
由y22=4x2,y12=4x1
∴kAB=
=
=
=
=−
(常数).
由y12=4x1,故kPA=
y1−4 |
x1−4 |
4 |
y1+4 |
同理可得kPB=
4 |
y2+4 |
由PA,PB斜率互为相反数可得kPA=-kPB,
即
4 |
y1+4 |
4 |
y2+4 |
化为y1+y2=-8;
(2)设直线AB的斜率为kAB,
由y22=4x2,y12=4x1
∴kAB=
y2−y1 |
x2−x1 |
y2−y1 | ||||
|
4 |
y1+y2 |
4 |
−8 |
1 |
2 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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