题目

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.
求证：PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

提问时间：2020-10-03

答案

∵PA⊥平面ABCD,AB是斜线PB的射影,
BC⊥AB,
∴根据三垂线定理,BC⊥PB,
∴△PBC是RT△,
∵F是RT△PBC斜边的中点,
∴BF=PC/2,
根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2,
AC^2=AB^2+BC^2,
AC=2√3,
PC=4,
BF=2,
∵PA=PB=2,PA⊥PB,
∴△PAB是等腰RT△,
PB=√2AB=2√2,
PB=BC=2√2,
∴△PBC是等腰RT△,
BF⊥PC,
PE=√6,CE=√6,
PE=CE,
∴△PEC是等腰△,
∵F是PC中点,
∴EF⊥PC,（等腰△三线合一）,
∵EF∩BF=F,
∴PC⊥平面BEF.
2、设底对角线AC∩BD=O,
连结FO和EO,延长EO交BC于M,连结FM,
∵FO是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∴EF⊥平面ABCD,
∵EM//AB,
PA∩AB=A,
EO∩EM=O,
∴平面PAB//平面EFM,
∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角,
∵BM⊥EM,BM⊥FO,
∴BM⊥平面EFM,
△EFM是△EFB在平面EFM上的投影,
设二面角B-EF-M的平面角为θ,
S△EFM=S△BEF*cosθ,
EF=√（PE^2-PF^2)=√（6-4）=√2,
∵EF^2+BF^2=BE^2=6,
∴△BEF是RT△,
S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2,
S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1,
∴cosθ=1/√2=√2/2,
θ=45°,
∴平面BEF与平面BAP夹角为45度.