题目

已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标原点),问：
(1)探究：点O到直线AB的距离是否为定值,若是,求处该定值,若不是,说明理由
(2)求|OA|*|OB|的最小值?

提问时间：2020-10-03

答案

当直线l没有斜率时,
设l:x=t,代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
得：t²/4+y²=1,y²=1-t²/4
∵向量OA*向量OB=0
∴t²=1-t²/4,t²=4/5,|t|=2√5/5
即O到l的距离为2√5/5
当直线l有斜率时,
设l:y=kx+m代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
x²/4+(kx+m)²=1
即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0
Δ=64k²m²-16(4k²+1)(m²-1)>0
==> 1+4k²>m²
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-8km/(4k²+1),x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)
∵向量OA*向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1x2+km(x1+x2)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)/(4k²+1)-8k²m²/(4k²+1)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)-8k²m²+(4k²+1)m²=0
∴ 5m²=4(k²+1) |m|/√(k²+1)=2√5/5
那么O到l的距离d=|m|/√(k²+1)=2√5/5
∴点O到直线AB的距离为定值2√5/5
（2）
k不存在时,|OA|*|OB|=8/5
k存在时,
根据面积公式：
|OA|*|OB|=|AB|*d
|AB|=4/√5
=√（k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(k²+1)√[64k²m²/(4k²+1)²-16(m²-1)/(4k²+1)]
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1+4k²-m²)
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1/5+16/5k²)
=4/√5*√[(16k⁴+17k²+1)/(4k²+1)²]
=4/√5*√[1+9k²/(4k²+1)²]
∴k=0时,|AB|取得最小值4/√5
∴|OA|*|OB|=|AB|*d≥4/√5*2√5/5=8/5
即|OA|*|OB|的最小值为8/5