题目

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（1）当m取何值时方程|f（x）-2|=m有一个解？两个解？
（2）若不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，求m的范围．

提问时间：2020-10-03

答案

（1）令g（x）=|f（x）-2|=|2^x-2|=

2x−2，    x≥1 −2x+2，   x＜1

，
方程|f（x）-2|=m有一个解，即y=g（x）与y=m有一个交点，方程|f（x）-2|=m有两个解，即y=g（x）与y=m有两个交点，
作出图象如右图所示，可得
当m=0或m≥2时，方程|f（x）-2|=m有一个解，
当0＜m＜2时，方程|f（x）-2|=m有两个解．
（2）不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4^x+2^x-m＞0在R上恒成立，
即m＜4^x+2^x在R上恒成立，即m＜（4^x+2^x），
4^x+2^x=（2^x+

1

2

）²-

1

4

＞0，
∴m≤0，
所以m的取值范围为m≤0．

（1）|f（x）-2|=m有一个解和两个解，转化成g（x）=|f（x）-2|与y=m有一个交点和两个交点问题，画出g（x）=|f（x）-2|=|2^x-2|=

2x−2，    x≥1 −2x+2，   x＜1

的图象，根据图象即可得答案，
（2）不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4^x+2^x-m＞0在R上恒成立，利用参变量分离，转化成求4^x+2^x的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数的零点．

考点点评：本题考查了函数的零点和函数的恒成立问题，函数的零点问题经常利用函数图象转化为求交点问题，恒成立问题一般使用参变量分离法处理．属于中档题．