题目

过抛物线y²=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则

OA

•

OB

=______．

提问时间：2020-10-03

答案

由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），
由

y2＝4x y＝k(x−1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1，
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=1+k²（2-

2k2+4

k2

）=1-4=-3；
故答案为：-3．

由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．