题目

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e^x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是______．

提问时间：2020-10-02

答案

设切点坐标为（m，e^m）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-e^m=e^m（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）e^m
过点P作l的垂线的切线方程为y-e^m=-e^-m（x-m）
令x=0，解得y=e^m+me^-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=

1

2

[（2-m）e^m+me^-m]
t'=

1

2

[-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值

1

2

(e+e−1)
故答案为：

1

2

(e+e−1)

先设切点坐标为（m，e^m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．