题目

（1）有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；
（2）设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．

提问时间：2020-10-02

答案

证明：（1）设n个整数为a₁，a₂，…，a_n，由题意得，
a₁a₂…a_n=n，a₁+a₂+…+a_n=0；
如果n为奇数，那么a₁，a₂，…，a_n均为奇数，于是a₁+a₂+…+a_n是奇数个奇数的和，不可能为0，所以n必为偶数，从而a₁，a₂，…，a_n中至少有一个是偶数；
又若a₁，a₂，…，a_n中只有一个偶数，设为a₁，则a₂+a₃+…+a_n是奇数个（n-1个）奇数之和，故必为奇数，从而a₁+a₂+…+a_n是奇数，与a₁+a₂+…+a_n=0矛盾；
故a₁，a₂，…，a_n中至少有两个偶数，所以n=a₁a₂…a_n能被4整除．
（2）设n=4k．
当k为奇数时，n=2•（-2k）•1^3k-2•（-1）^k，而2，-2k，（3k-2）个1与k个-1共4k个数之和为零；
当k为偶数时，n=（-2）（-2k）•1^3k•（-1）^k-2，而-2，-2k，3k个1与（k-2）个-1共4k个数之和为零．