题目

半径为R 圆心角45°扇形铁皮 求最大面积内接矩形
一块半径为R 圆心角45°扇形铁皮,为了获取最大面积的矩形铁皮,工人师傅让矩形的一边在扇形的半径上,然后做最大内接矩形,试问工人师傅是如何选择四个顶点,并求其最大植.

提问时间：2020-10-02

答案

扇形OAB中,∠AOB=45°,OA=OB=R,在上选一点P,作PN⊥OA于N,PQ‖OA交OB于Q,再作QM⊥OA于M得矩形PQMN.连结OP,设∠POA=α,
则OP=R,0°＜α＜45°.
于是PN=OPsinα=Rsinα,ON=OPcosα=Rcosα,
∴MN=ON－OM=ON－MQtan45°=ON－MQ=ON－PN=Rcosα－Rsinα.
∴矩形PQMN的面积
S=MN·PN=R（cosα－sinα）·Rsinα
=R2（sinαcosα－sin2α）
=（sin2α+cos2α－1）
=R2sin（2α+45°）－.（0°＜α＜45°）
∴当sin（2α+45°）=1,即α=22.5°时,S最大=R2.