题目

已知函数f(x)＝alnx+

1

2

x

提问时间：2020-10-02

答案

（Ⅰ）求导数可得f′（x）=

(x−a)(x−1)

x

（x＞0）
（1）a≤0时，令f′（x）＜0，可得x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，∵x＞0，∴x＞1
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
（2）0＜a＜1时，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函数f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；
（3）a=1时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增；
（4）a＞1时，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，∵x＞0，∴1＜x＜a；令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函数f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；
（Ⅱ）a≥0时，f（1）=-

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-a＜0，舍去；
a＜0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴函数在x=1处取得最小值，
∵函数f（x）≥0对定义域内的任意的x恒成立，
∴f（1）=-

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2

-a≥0，可得a≤-

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