题目

已知数列{a_n}中，a_n＞0且a_n²-2a_nS_n+1=0，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：{S_n²}是等差数列；
（2）求证：a_n＞a_n+1（n∈N^*）．

提问时间：2020-10-02

答案

证明：（1）∵an2-2anSn+1=0，an=Sn-Sn-1（n≥2）∴（Sn-Sn-1）2-2（Sn-Sn-1）Sn+1=0⇒Sn2-Sn-12=1故{Sn2}成等差数列．（2）∵a12-2a12+1=0，a1＞0∴a1=S1=1∴Sn2=1+（n-1）=n故Sn＝n∴an＝Sn−Sn−1＝n−n−1=1n+n...