题目

如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(2,4),直线x＝2与x轴相交于点B,连接OA．抛物线y＝x2从点O沿
OA的方向平移,与直线x＝2交于点P,顶点M到达点A时停止移动．
(1)求线段OA所在直线的解析式．
(2)设抛物线顶点M的横坐标m：
①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时,线段PB最短．
(3)当m线段PB最短时,相应抛物线上是否存在点Q,使得△AMQ的面积与△AMP的面积相等?若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
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提问时间：2020-10-02

答案

（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A（2,4）,
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）
（2）①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m,2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时,y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2,m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）
（3）当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2,
①过P作直线L∥OA,设直线L：y=2x+h,
又P的横坐标为2,把x=2代入抛物线解析式得：y=3,
则把P的坐标（2,3）代入得：4+h=3,解得：h=-1；
∴直线L：y=2x-1,联立抛物线的解析式有：
,
解得；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2,3）,故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP,即D（2,5）；
过D作直线L′∥OA,设直线L′：y=2x+h′,
则有：4+h′=5,h′=1；
∴直线L′：y=2x+1,联立抛物线的解析式有：
,
解得,；
抛物线上存在点Q1（2+,5+2）,Q2（2-,5-2）,使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）