题目

从双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的关系为（　　）
A. |MO|-|MT|＞b-a
B. |MO|-|MT|＜b-a
C. |MO|-|MT|=b-a
D. |MO|-|MT|与b-a无关

提问时间：2020-10-02

答案

如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点．
由三角形的中位线定理可得：
|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，
连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
∴|FT|=

|OF|2-|OT|2

=

c2-a2

=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
故选：C．

如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|−a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=

|OF|2−|OT|2

=b．即可得出关系式．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．