题目

高一数学三角形几心与向量结合题
已知o为三角形所在平面内一点,满足向量OA的模+BC的模=OB的模+CA的模=OC的模+AB的模,则O为三角形的什么心?
为什么~

提问时间：2020-10-01

答案

证明:
假设O是三角形ABC的垂心成立,并设三边AB,AC,BC上的垂足分别是F,E,D,则有
OA^2=AE^2+OE^2
BC^2=BE^2+EC^2
则有
OA^2+BC^2
=AE^2+OE^2+BE^2+EC^2
=(AE^2+BE^2)+(OE^2+EC^2)
=AB^2+OC^2
又有
OB^2=OF^2+FB^2
AC^2=AF^2+CF^2
则有
OB^2+AC^2
=OF^2+FB^2+AF^2+CF^2
=(OF^2+AF^2)+(FB^2+CF^2)
=OA^2+BC^2
所以有
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2=OC^2+AB^2
与已知条件符合,所以假设成立
所以O是三角形ABC的垂心
所以AB⊥OC